Enunciado

Determinar o subespaço do R 3 gerado pelo seguinte conjunto:

{ 1 ,   2 ,   - 1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   0 }

Passo 1

Pensa assim: qualquer vetor do subespaço que estamos procurando vai ser combinação linear desses três vetores! Então podemos escrever assim pra um vetor genérico ( x , y , z ) :

x , y , z = a 1 ,   2 ,   - 1 + b - 1 ,   1 ,   0 + c 0 ,   0 ,   2 + d ( - 2 ,   1 ,   0 )

x , y , z = ( a - b - 2 d ,   2 a + b + d ,   - a + 2 c )

Isso nos dá um sisteminha:

a - b - 2 d = x 2 a + b + d = y - a + 2 c = z

Passo 2

Vamos resolver esse sistema pra encontrar uma relação entre as variáveis. Na última equação, vamos encontrar:

c = z + a 2

Vamos somar as duas primeiras equações pra sumir com b :

a - b - 2 d + 2 a + b + d = x + y

3 a - d = x + y

d = 3 a - x - y

Agora vamos somar a primeira equação com o dobro da segunda:

a - b - 2 d + 2 2 a + b + d = x + 2 y

5 a + b = x + 2 y

b = x + 2 y - 5 a

Passo 3

Bom, galera, aqui a gente conseguiu escrever todos os coeficientes da combinação linear em função de uma só. Assim, a gente não tem uma combinação linear só, mas sim várias, e essas combinações todas vão depender do valor de a , que varia livremente. Assim, todos os coeficientes variam livremente, e por isso, vamos estar livres pra percorrer todo o espaço. Por isso, o nosso espaço gerado é o R 3 .

Resposta

R 3

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Mostrar que o conjunto { 1,1 , 0,0 , 0,0 , 1,1 ,1,0 , 0,3 ,0,0 , 0,5 } é uma base de I R 4 .
Seja V = I R 3 e o conjunto B = 0,1 , 1 ,1,1 , 0 , 1,2 , 1⊂ I R 3 Mostrar que B não é base do I R 3 .Determinar uma base do I R 3 que possua dois elementos de B .
Mostrar que o conjunto 2 3 - 1 0 ,1 - 1 0 - 2 , - 3 - 2 1 - 1 , 3 - 7 - 2 5 é uma base de M 2,2 .
Mostrar que os vetores v 1 = 1,1 , 1 ,v 2 = 1,2 , 3 ,v 3 = 3,0 , 2ev 4 = ( 2 , - 1,1 ) geram o I R 3 e encontrar uma base dentre os vetores v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do R 3 ? 1 ,1 ,- 1 ,2 ,- 1 ,0 ,3 ,2 ,0 1 ,0 ,1 ,0 ,- 1 ,2 ,- 2 ,1 ,- 4 2 ,1 ,- 1 ,- 1 ,0 ,1 ,0 ,0 ,1 1 ,2 ,3 ,4 ,1 ,2 0 ,- 1 ,2 ,2 ,1 ,3 ,- 1 ,